Моделирование в физике.
Модели динамики тел.
(Игра – «Пушка»)
Постановка задачи. Предположим, что некоторое физическое тело движется в плоскости (или в пространстве). В каждый момент времени его положение определяется вектор – функцией
Математическая модель. Пусть на тело действует некоторая суммарная сила
где m – масса тела, а
Спроектируем векторную модель на оси
Вычислительная модель. 1) разобьем рассматриваемый промежуток времени [0; Т], равноотстоящими узлами ti = Dt × i, где Dt фиксированная величина (элементарный временной отрезок), а i принимает значения от 0 до J; 2) при построении модели Ферхюльста – Пирла в каждой узловой точке ti значение производных x'(ti), y'(ti) мы заменяли конечно-разностным отношениями
Продифференцируем эти выражения Тогда вычислительная модель будет выглядеть следующим образом
Компьютерная модель. Требуется изобразить на экране дисплея траекторию снаряда, вылетающего из ствола пушки под углом a к горизонту с начальной скоростью V0 = 78м/с. Силой сопротивления воздуха пренебречь. Пользователь также может вводить параметры цели (высоту – h и ширину – l). Мишень изображается на расстоянии большем, чем половина экрана, но меньшем, чем весь экран. В случае попадания программа выводит: «Ура!» и прекращает работать. В случае непопадания пользователю дается еще две попытки. Планетная система. Постановка. В некотором месте космического пространства находится большое тело массы М. В поле тяготения этого тела попадают тела меньшей массы m, прилетающие откуда-то. При этом известны скорости их движения в момент времени, который примем за нулевой. Приблизительно такая ситуация имела место в момент формирования Солнечной системы. Тела, скорость которых превосходила вторую космическую, вырывались из поля тяготения Солнца и улетали в космическое пространство. Тела, со скоростью движения, попадающей в интервал второй космической скорости, становились спутниками Солнца, образуя Солнечную систему. Судьба тел с меньшей скоростью — упали на поверхность Солнца, пополнив его массу. Построить компьютерную модель, которая на экране дисплея графически показывала бы судьбу каждого из трех типов тел. Математическая модель. Отметим, что за историю человечества существовало, по крайней мере, три таких модели. Первая связана с именем античного астронома Птолемея. Вторая — Коперника. И третья — Ньютона. Каждая из них достаточно хорошо описывала видимое движение небесных тел, хотя и исходила иногда из прямо противоположных исходных позиций (геоцентризм Птолемея и гелиоцентризм Коперника). Выберем в качестве основы построения математической модели положения Ньютона, как наиболее отвечающие нашим целям и не противоречащие сегодняшним представлениям естествознания. В основе этих представлений лежат два фундаментальных закона физики: Будем считать, что орбита любого тела, движущегося в поле тяготения тела массы М, целиком лежит в одной плоскости (плоскость орбиты). Этот факт непосредственно следует из названных двух законов Ньютона, но доказательство его оставим за пределами нашего рассмотрения. В плоскости орбиты введем систему координат: в центре ее поместим "солнце" системы (тело массы М), ось ОХ направим из центра в начальное положение тела (в момент его попадания в поле тяготения "солнца"); ось OY — перпендикулярно ей. Пусть положение тела описывает вектор-функция r(t), начало которой находится в центре системы координат, конец — на орбите. Кроме того, обозначим вектор силы, действующей со стороны "солнца" на тело через F(t). В этих обозначениях 2-ой закон Ньютона может быть записан так m×r"(t)=F(t), r"(t) — вектор-функция ускорения движения тела под действием силы F(t) (вторая производная от вектор-функции r(t)), m -масса тела. Закон всемирного тяготения Ньютона записывается так
где k — коэффициент пропорциональности, М — масса "солнца", m - масса тела, |r(t)| — расстояние от центра координат до точки на орбите
где x(t) и y(t) — составляющие вектора r(t). Величина отношения
Формулировка приведенного закона: сила притяжения, действующая на тело со стороны "солнца", прямо пропорциональна массам "солнца" (М) и самого тела (m), обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними и направлена от тела к "солнцу". Заменяя в правой части уравнения второго закона Ньютона силу F(t) на ее значение, определяемое законом притяжения, сокращая в левой и правой части массу тела m, приходим к дифференциальному уравнению второго порядка для вектор-функции r(t)
Это уравнение, рассматриваемое совместно с начальными условиями (положение и начальная скорость), и представляет собой математическую модель движения тела в поле притяжение "Солнца" (тела массы М). Для решения векторного дифференциального уравнения обычно его проектируют на оси координат, и решают получающиеся при этом уравнения относительно составляющих вектор-функции r(t) (x(t) и y(t)). Осуществим, это проектирование. Для сокращения записи обозначим через f(t) скалярную (невекторную) величину
Проектируя на оси ОХ и OY получим соответственно: x"(t)=f(t)×x(t), y"(t)=f(t)×y(t). Получили систему дифференциальных уравнений относительно составляющих x(t) и y(t). Для решения такой системы необходимо знать начальные условия, т.е. начальное положение и начальную скорость (в момент времени t=0). В силу выбора системы координат в нашем случае будем считать, что заданы значения х(0)=a, у(0)=0, х'(0)=b, у'(0)=d. Система из двух дифференциальных уравнений второго порядка, рассматриваемая совместно с четырьмя начальными условиями, представляет собой полное математическое описание поведения тела в поле притяжения "Солнца". Задание. Самостоятельно составить вычислительную модель, аппроксимировав первую и вторую производные разностными отношениями. Работа с моделью. Построенная модель позволяет исследовать, движение планеты при различных значениях начальной скорости (коэффициенты b и d) и начального положения (коэффициент a). Будем считать, что k × M = 100. В этом предположении неоднократно повторим испытание модели при различных начальных значениях. Модель будет изученной, если будут выявлены значения начальных коэффициентов a, b, d, при которых: 1) планета будет двигать по эллиптической орбите (станет спутником “солнца”); 2) планета вырвется из поля тяготения “солнца” и улетит в космическое пространство (“комета”); 3) планета упадет на “солнце.